Нормальность в симметрической группе
В теории групп подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого элемента g из G множество gHg-1 совпадает с H. Иначе говоря, для каждого элемента g из G соответствующий внутренний автоморфизм h → ghg-1 переводит H в себя.
Двойная восьмерка (D8) и симметрическая группа S4
Играем в «The Walking Dead» в 2024 году.
- Двойная восьмерка (D8) — это группа симметрии квадрата, состоящая из 8 элементов: тождественного отображения, 3 вращений на 90°, 3 вращений на 180° и 1 отражения.
- Симметрическая группа S4 — это группа перестановок 4 элементов, состоящая из 24 элементов.
Ответ на вопрос
Утверждение: Двойная восьмерка (D8) не является нормальной подгруппой симметрической группы S4.
Доказательство:
Предположим противное, что D8 нормальна в S4. Тогда для любого элемента g из S4 множество gD8g-1 совпадает с D8. Однако, как легко проверить, существует такой элемент g в S4, что gD8g-1 содержит транспозицию, в то время как сама D8 не содержит транспозиций. Следовательно, наше предположение приводит к противоречию. Поэтому D8 не может быть нормальной подгруппой S4.
Обзор игры Fanatic Earth.
Есть ли у S4 подгруппа восьмого порядка?
Доказательство: Рассмотрим подгруппу H, порожденную элементами s = (1 3)(2 4) и (1 2). Поскольку s является транспозицией четырех элементов, а (1 2) является транспозицией двух элементов, порядок s и (1 2) равен 2. Тогда, согласно теореме Лагранжа, порядок H должен быть делителем |S4| = 24. Кратнейшими общими делителями 2 и 24 являются 1, 2 и 4. Поскольку H содержит элементы s и (1 2), которые имеют порядок 2, порядок H не может быть равен 1. Также, порядок H не может быть равен 4, поскольку это не делитель 24. Следовательно, порядок H должен быть равен 2.
Подгруппа H является абелевой, поскольку транспозиции коммутируют. Таким образом, H изоморфна подгруппе восьмого порядка D8 диэдрической группы, которая содержит восемь элементов и является абелевой.
Полезная информация:
- Подгруппа: Подгруппа группы – это множество, которое само по себе является группой относительно той же операции.
- Теорема Лагранжа: Порядок конечной подгруппы группы всегда является делителем порядка группы.
- Диэдрическая группа: Диэдрическая группа – это группа симметрий правильного многоугольника. Она состоит из вращений и отражений многоугольника.
Что такое нормальная подгруппа в S4?
Нормальная Подгруппа
Нормальная подгруппа N группы G определяется как подгруппа N, которая является инвариантной относительно всех автоморфизмов G. Иными словами, для любого автоморфизма α группы G справедливо Nα =
Нормальные Подгруппы в S4
В S4 (симметрической группе порядка 4) существуют всего три нормальные подгруппы порядка 8: 1. K: Подгруппа, состоящая из всех четных перестановок. 2. H ∩ A4: Пересечение H с подгруппой четных перестановок A4. 3. K’: Подгруппа, состоящая из всех нечетных перестановок.
Доказательство
1. K является нормальной подгруппой: Это следует из того, что K является подгруппой S4 и все автоморфизмы S4 сохраняют четность перестановок. 2. H ∩ A4 является нормальной подгруппой: * H ∩ A4 ⊆ H: По определению пересечения. * H ⊆ H ∩ A4: Поскольку H содержит четные перестановки. * α(H ∩ A4) ⊆ H ∩ A4: Для любого автоморфизма α из S4. Это следует из того, что автоморфизмы S4 сохраняют порядок элементов. 3. K’* является нормальной подгруппой: Это следует из доказательства для K аналогичным образом.
Сколько подгрупп четвертого порядка в D8?
Теорема: _Группа D8 содержит ровно три подгруппы порядка 4._ Доказательство: 1. Подгруппа ⟨(1 2 3 4)⟩ является циклической порядка 4 и единственной такой в D8. 2. Подгруппа ⟨(1 2)(3 4)⟩ не является циклической, так как ее элемент (1 2)(3 4) не является порядком 4. 3. Подгруппа ⟨(1 3)(2 4)⟩ также не является циклической и отличается от ⟨(1 2)(3 4)⟩ по той же причине. Следствие: D8 является примером неабелевой группы порядка 4. Замечание: Неабелева группа порядка 4 называется группой Клейна и имеет особые свойства, отличающие ее от абелевых групп того же порядка.
Изоморфен ли D4 S4?
Изоморфность D4 и S4
“` D4 ≅ Subgroup(S4) “`
Таким образом, диэдральная группа порядка 8, D4, изоморфна подгруппе симметрической группы порядка 24, S4. Образ гомоморфизма φ образует подгруппу S4, порожденную транспозициями (1 4 3 2) и (4 2).
Дополнительная информация
- Симметрическая группа Sn: множество всех перестановок n элементов или набор биекций множества {1, 2, 3, …, n} на себя.
- Изоморфизм групп: если существует биективный гомоморфизм между двумя группами, то они называются изоморфными.
- Подгруппа: группа, которая содержится внутри другой группы как ее подмножество и сама является группой.
- Диэдральная группа Dn: группа, порожденная вращениями и отражениями правильного n-угольника.
- Транспозиция: перестановка, которая меняет местами ровно два элемента.
Знание изоморфизма между D4 и S4 полезно в различных областях, включая алгебру, комбинаторику и теорию групп. Оно позволяет использовать свойства одной группы для изучения другой.
Почему D4 не является нормальным в S4?
Нормальная подгруппа отличается от других подгрупп важным свойством: она равна всем своим сопряженным подгруппам. Это означает, что она имеет единственный класс сопряженности.
Поскольку группа S4 содержит всего четыре нормальные подгруппы, каждая из них принадлежит своему собственному классу сопряженности. Этими классами являются строки 1, 6, 10 и 11.
Какая группа 24-го порядка имеет нормальную подгруппу 4-го или 8-го порядка?
Группа 24-го порядка содержит нормальную подгруппу 4-го или 8-го порядка.
- Ядро гомоморфизма φ, ker(φ), является нормальной подгруппой.
- Порядок группы равен 24, а порядок ядра φ делит 8. Таким образом, порядок ядра φ равен 4 или 8.
- Следовательно, группа 24-го порядка содержит нормальную подгруппу порядка 4 или 8.
Теория групп | Приложения теорем Силова | Теория Силова и S4 | D8 — силовская 2-подгруппа группы S4.
Теорема Силова устанавливает существование силовских подгрупп, максимальных подгрупп порядка, являющегося степенью простого числа.
D8 не является подгруппой S4, так как элементы D8 представляют симметрии квадрата, а не перестановки, но они соответствуют восьми элементам S4, которые образуют подгруппу.
Что такое группа D8?
Группа D8
Определение:
Группа D8 – это группа перестановок четырёх элементов, известная также как симметрическая группа S4. Она является подгруппой симметрической группы, которая действует на множестве из четырёх элементов.
Геометрическая интерпретация:
Группу D8 можно связать с геометрией квадрата. Вершины квадрата соответствуют элементам группы, а действие группы на вершины квадрата определяется симметриями квадрата. Это включает вращения, отражения и преобразования скользящего отражения.
Ключевые характеристики:
- Порядок: 8
- Число сопряжённых классов: 5
- Генераторы: {(1 2), (1 3)(2 4)}
- Подгруппы: {C2, C4, D4}
Интересные факты:
- Группа D8 является простой группой, то есть она не содержит нетривиальных нормальных подгрупп.
- Группа D8 используется в различных областях математики, включая теорию групп, геометрию и комбинаторику.
Является ли D8 подгруппой S8?
Теорема Кэли утверждает, что диэдральная группа D8 изоморфна подгруппе S8.
Эта теорема дает гомоморфизм φ : D8 → S8, где перестановка φ(g) элементов D8 задается как умножение слева на g, в соответствии с данной нумерацией.
Важная дополнительная информация:
- Диэдральная группа D8 имеет порядок 8 и представляет симметрии правильного восьмиугольника.
- Подгруппа S8 порядка 8, полученная в результате изоморфизма, является циклической группой.
- Гомоморфизм φ позволяет представлять элементы D8 как перестановки элементов S8, что упрощает анализ симметрий.
Каковы нормальные подгруппы D8?
Нормальные подгруппы D8 Диэдральная группа D8 имеет 10 подгрупп:
- Тривиальная подгруппа {e}
- Шесть циклических подгрупп:
- {e, s, s2, s3}
- {e, s2}
- {e, rx}
- {e, ry}
- {e, rx+ry}
- {e, rx-ry}
- Две нециклические подгруппы:
- {e, s2, rx, ry}
- {e, s2, rx+ry, rx-ry}
- Сама группа D8
Доказательство неизоморфности D8 и Q8 Чтобы продемонстрировать, что D8 не изоморфен Q8, рассмотрим их порядок. Порядок D8 составляет 8, а порядок Q8 – 16. Поскольку группы с разными порядками не могут быть изоморфны, D8 и Q8 не могут быть изоморфны.
Каковы нормальные подгруппы четвертого порядка?
Нормальные подгруппы четвертого порядка
Количество нормальных подгрупп четвертого порядка в конечной группе является нечетным числом. Это свойство известно как теорема Бернсайда.
Теорема Бернсайда имеет ряд важных следствий:
- Если группа содержит четное число элементов, то она не может иметь нормальных подгрупп порядка 4.
- Если группа содержит нечетное число элементов, то она должна иметь хотя бы одну нормальную подгруппу порядка 4.
- Если группа имеет нормальную подгруппу порядка 4, то ее фактор-группа по этой подгруппе является группой четного порядка.
Теория групп | Приложения теорем Силова | Теория Силова и S4 | D8 — силовская 2-подгруппа группы S4.
Каковы обычные подгруппы s_4?
Обычные подгруппы симметрической группы S4 образуют следующую решеточную структуру подгрупп:
- S4
- V4
- A4
- Z4 (класс вычетов по модулю 4)
- Z2 × Z2
- Z3
- Z2
- Z2
- Z2
- 1
Ключевые подгруппы: * V4: нормальная подгруппа, изоморфная группе Клейна четырех порядка. * A4: знакопеременная группа порядка 12, важная в теории групп и геометрии.
Все ли подгруппы D4 нормальны?
В группе `D4` все подгруппы нормальны. Свойством нормальности обладают: – 2-элементная подгруппа `{e, c2}`, состоящая из тождественного элемента и инверсии. Эта подгруппа является центром группы `D4`. – Три 4-элементные подгруппы: * `{e, c2, c4, c6}` * `{e, c2, c43, c63}` * `{e, c2, d4, d8}`. Эти подгруппы являются циклическими подгруппами порядка 4. Таким образом, группа `D4` обладает четырьмя нормальными подгруппами, что делает её полностью нормальной группой.
Каковы ненормальные подгруппы D8?
Группа D8 содержит четыре ненормальные подгруппы:
- H1 = {1, b}: порождена элементом b
- H2 = {1, a3b}: порождена элементом a3b
- H3 = {1, ab}: порождена элементом ab
- H4 = {1, a2b}: порождена элементом a2b
Сколько нормальных подгрупп имеет S4?
Класс сопряженности 4-циклов в S4 имеет 6 элементов и соответствует разбиению 4.
Эти элементы обладают циклической структурой (abcd), что указывает на их поведение при сопряжении.
Все ли подгруппы D8 нормальны?
Решетка подгрупп D8 Согласно работе Даммита и Фута (стр. 69), решетка подгрупп группы диэдра D8 изображена следующим образом: “` D8 = {1, r, s, rs, r^2, r^2s, s^2, r^2s^2} “` Нормальные подгруппы D8 Для определения нормальности подгрупп D8 проанализируем решетку подгрупп: * Подгруппы порядка 4 ({r, s, rs, r^2s}) являются нормальными, поскольку являются ядрами гомоморфизмов D8 в группу Z2. * Подгруппа {1, r^2} также нормальна, поскольку она является ядром гомоморфизма D8 в группу D4. Выводы Все подгруппы порядка 4 и {1, r^2} в D8 являются нормальными. Следовательно, все факторгруппы D8 по этим нормальным подгруппам изоморфны Z2 и D4 (V4) соответственно: * D8/{r, s, rs, r^2s} ≃ Z2 * D8/{1, r^2} ≃ D4 ≃ V4
Чему изоморфен D8?
Центром D8 является группа {1,r2 }. Отсюда следует, что группа внутренних автоморфизмов группы D8 является группой порядка 4; она изоморфна D8/Z(D8), которая является нециклической группой порядка 4 (четвёртой группой Клейна).
Каков порядок группы диэдра D8?
Группа диэдра порядка 8 (D4) является первым примером не-Т-группы.
Эта группа имеет две нормальные четырехгрупповые подгруппы Клейна, в каждой из которых есть нормальная подгруппа порядка 2, порожденная отражением (флипом) в D4.
Что такое состав серии для D8?
D8 > (α) > (α2) > 1 — композиционный ряд для D8, и это единственный ряд с циклическим G1. Рассмотрим теперь другие возможности G1. Если он не циклический, то он не должен содержать элементов четвертого порядка.
Какие группы изоморфны S4?
Октаэдрическая группа и симметрическая группа S4 являются изоморфными группами порядка 24.
Структура октаэдрической группы соответствует 24 возможным симметриям правильного октаэдра, имеющего 8 вершин и 6 граней.
Изоморфизм означает, что эти группы имеют одинаковую алгебраическую структуру, несмотря на различия в конкретных элементах и операциях.
Сколько подгрупп в порядке 4 S4?
Порядок группы S4 — 4!, где 4 — количество элементов. Поскольку в S4 есть 8 3-циклов, то каждая уникальная подгруппа порядка 4 должна содержать два из них путем перестановки элементов.
Таким образом, существует 4 уникальные подгруппы порядка 4 в S4.
Является ли D8 решеткой?
Решетка D8 — математическая структура, характеризующаяся интересным расположением вершин.
- Расположение вершин в 8-микубических сотах соответствует решетке D8.
- В выпрямленной 8-ортоплексной фигуре содержится 112 вершин, представляющих число целования.
Является ли группа D8 абелевой?
Группа D8, также известная как группа диэдра порядка 8, является неабелевой конечной группой.
Основные характеристики группы D8:
- Порядок: 8
- Минимальное число образующих: 2
- Показатель степени: 4
Интересные факты о группе D8:
- Группу D8 можно представить как группу симметрий правильного восьмиугольника.
- Она является подгруппой симметрической группы S8.
- Группу D8 можно определить как полупрямое произведение группы C4 (циклической группы порядка 4) и группы Z2 (двухэлементной группы).
- Группа D8 не является простой группой, поскольку имеет нормальный делитель C4.
Является ли v4 нормальной подгруппой S4?
Нормальная четырехподгруппа симметрической группы S4 — подгруппа, содержащая единичный элемент и три двойные транспозиции.
В частности, это подгруппа, порожденная элементами (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) и (1 4)(2 3).
