Теорема Нэша о существовании равновесия
В 1951 году Джон Нэш доказал основополагающую теорему, которая утверждает, что:
Каждая конечная игра с конечным числом игроков и профилей действий имеет по крайней мере одно равновесие по Нэшу.
Ключевые понятия:
Dragon Sinker. Обзор игры в 2024 году.
- Конечная игра: Игра с конечным числом игроков и конечным числом доступных действий для каждого игрока.
- Профили действий: Наборы действий, выбираемых всеми игроками.
- Равновесие по Нэшу: набор стратегий, при которых каждый игрок оптимизирует свои действия, принимая во внимание действия других игроков.
Теорема о существовании равновесия Нэша имеет фундаментальное значение в теории игр и используется для изучения различных типов игр, таких как:
- Дилеммы заключенного
- Аукционы
- Олигополии
Понимание равновесия по Нэшу имеет решающее значение для принятия стратегических решений в различных областях, включая экономику, политологию и биологию.
Может ли игра иметь несколько равновесий Нэша или не иметь их вообще?
В любой игре с совершенной информацией обязательно найдется оптимальная стратегия для каждого игрока, получившая название совершенного равновесия на подыграх.
Это равновесие гарантирует наилучший результат для каждого участника независимо от действий других игроков, делая игру предсказуемой и стратегически выгодной.
Children of Morta на Switch. Обзор игры.
Как узнать, что равновесия Нэша нет?
В популярной игре “Камень, ножницы, бумага” подобное равновесие отсутствует.
Однако, если допускаются смешанные стратегии (то есть случайный выбор действия), равновесие Нэша возможно.
Каждая ли игра конечной экстенсивной формы имеет идеальное равновесие подыгры?
Для определения идеального равновесия Подигра в экстенсивной форме с конечным горизонтом можно использовать метод раскрытия стратегий. Он заключается в следующем:
- Каждый игрок раскрывает свою стратегию всем остальным игрокам.
- Если никто из игроков не изменяет свою стратегию, то доказано существование идеального равновесия Подигра.
Метод раскрытия стратегий позволяет быстро найти равновесие Нэша или установить его отсутствие в данной игре. Он основан на следующем принципе:
В идеальном равновесии Подигра каждый игрок принимает оптимальное решение для каждого возможного узла экстенсивной формы, учитывая стратегии всех остальных игроков. Если кто-либо может получить более высокий выигрыш, изменив свою стратегию, то текущее положение не является равновесием.
Следует отметить, что метод раскрытия стратегий может оказаться неэффективным для сложных игр с многочисленными игроками и большим числом возможных ходов.
3. Поиск равновесия Нэша в чистой стратегии в конечных играх с одновременными ходами (плейлист 3 по теории игр)
Равновесие Нэша в играх с одновременными ходами достигается, когда ни один игрок не может улучшить свой результат, отклоняясь от своей стратегии, при условии, что стратегии всех остальных остаются неизменными. Таким образом, в равновесии Нэша каждый участник действует оптимально, учитывая действия своих оппонентов.
Равновесия Нэша бывают нескольких типов:
- Чистые стратегии: Игроки выбирают одну конкретную стратегию из своего множества.
- Смешанные стратегии: Игроки выбирают случайным образом из набора доступных стратегий с определенными вероятностями.
В играх с конечными множествами стратегий существование равновесия Нэша гарантировано. Однако оно может быть:
- Единственным: Только один набор стратегий составляет равновесие.
- Множественным: Существует несколько наборов равновесных стратегий.
- Отсутствует: Ни один набор стратегий не является равновесием.
Равновесие Нэша имеет важные приложения в различных областях, таких как:
- Экономика: Моделирование конкуренции, аукционов и рынков.
- Политология: Анализ взаимодействия между государствами и политическими партиями.
- Биология: Имитация поведения в популяциях животных и эволюции.
Почему равновесие Нэша не лучшее решение?
Равновесие Нэша – это не всегда оптимальный результат, поскольку оно не учитывает потенциальные преимущества сотрудничества.
Всегда ли существует равновесие Нэша в игре с нулевой суммой?
Теорема Максмина для игр с нулевой суммой:
- Существование равновесия Нэша в чистых стратегиях обусловлено совпадением значений v1 и v2.
Это означает, что обе стороны имеют равные возможности для минимизации своих потерь и максимизации выигрышей при условии выбора оптимальных стратегий.
Сколько чистых равновесий Нэша имеет конечная стратегическая игра?
Рассматриваемая конечная стратегическая игра обладает двумя равновесиями Нэша в чистой стратегии: (да, да) и (нет, нет). Равновесий смешанной стратегии не существует, поскольку стратегия «да» слабо доминирует над «нет».
Ключевые понятия:
- Равновесие Нэша: стратегический профиль, в котором каждый игрок выбирает лучшую возможную стратегию, учитывая стратегии других игроков.
- Чистая стратегия: стратегия, где игрок выбирает определенное действие с вероятностью 1.
- Смешанная стратегия: стратегия, где игрок рандомизирует свои действия с вероятностью менее 1.
- Слабое доминирование: стратегия, которая не может быть улучшена, независимо от действий других игроков.
В данном случае стратегия «да» не может быть улучшена, независимо от выбора другого игрока. Если другой игрок выбирает «нет», то и «да», и «нет» дают одинаковый результат. Однако если есть хоть какая-то вероятность, что другой игрок выберет «да», то «да» становится лучшим ответом, поскольку приводит к более высокому выигрышу.
Таким образом, поскольку «да» слабо доминирует над «нет», равновесия смешанной стратегии не могут существовать, поскольку игроки всегда будут выбирать «да», чтобы максимизировать свой выигрыш.
В какой игре нет равновесия в чистой стратегии?
Игра с монетой – классический пример, демонстрирующий смешанные стратегии и равновесие Нэша.
- Чистых стратегий (“орел” или “решка”) в этой игре нет, поскольку они не могут быть оптимальными ответами друг на друга.
- Оптимальная стратегия – равновесие в смешанной стратегии, где обе стороны случайным образом выбирают тактику с определенной вероятностью.
В каждой ли игре есть равновесие смешанной стратегии?
Теорема Гликсберга является важным результатом в теории игр, который утверждает, что во всякой непрерывной игре существует равновесие Нэша смешанной стратегии.
Непрерывная игра означает, что множества стратегий и функций выигрышей являются непрерывными функциями в топологическом смысле. Равновесие Нэша смешанной стратегии – это набор смешанных стратегий для всех игроков, таких что ни один игрок не может улучшить свой выигрыш, отклонившись от своей смешанной стратегии, при условии, что другие игроки придерживаются своих стратегий.
Теорема Гликсберга, которая обобщает теорему Нэша, гласит, что для непрерывных игр существует равновесие Нэша смешанной стратегии, даже если пространство смешанных стратегий является бесконечномерным. Это связано с тем, что пространство смешанных стратегий в случае непрерывных пространств стратегий является не только бесконечномерным, но также и компактным и выпуклым. Такие пространства обладают желаемым свойством, необходимым для применения теоремы о неподвижной точке Какутани, которая гарантирует существование неподвижной точки, соответствующей равновесию Нэша.
Существование равновесия Нэша смешанной стратегии имеет фундаментальное значение в теории игр, поскольку оно обеспечивает теоретическую основу для анализа непрерывных игр. Оно позволяет исследователям изучать поведение игроков в играх с непрерывными пространствами действий и предсказывать их стратегии и выигрыши.
Что является примером отсутствия равновесия по Нэшу?
Отсутствие равновесия по Нэшу возникает, когда выигрыш одного игрока прямо противоположен выигрышу другого.
В случае с игрой в монеты отсутствие равновесия проявляется в том, что:
- При совпадении монет игрок A оставляет обе себе.
- При несовпадении монет игрок Б оставляет обе себе.
Таким образом, у каждого игрока отсутствует стратегия, которая бы приносила выгоду вне зависимости от действий оппонента.
Может ли игра иметь равновесие Нэша, даже если ни у одного из игроков нет доминируемой стратегии?
Равновесие Нэша в теории игр — это набор стратегий, при которых ни один игрок не может улучшить свой результат, изменив свою стратегию, при условии, что остальные игроки не меняют свои стратегии. Важно отметить, что наличие доминирующей стратегии не является необходимым условием для существования равновесия Нэша.
Каждая игра, включая те, в которых отсутствуют доминирующие стратегии, имеет хотя бы одно равновесие Нэша. Это утверждение гарантируется теоремой Нэша, которая является краеугольным камнем теории игр.
В некоторых случаях равновесие Нэша может реализовываться с использованием чистых стратегий, при которых игроки выбирают фиксированные действия. Однако определенные игры могут иметь равновесие Нэша только в смешанных стратегиях, где игроки выбирают свои действия случайным образом с заданными вероятностями.
Пример: Игра “Цыпленок” иллюстрирует существование равновесия Нэша без доминирующих стратегий. В этой игре два водителя направляют свои машины друг на друга на высокой скорости. Если оба водителя останавливаются (“трусят”), они избегают аварии, но выглядят трусами. Если один из водителей остановится, а другой нет (“сыграет в курицу”), то остановившийся выглядит трусом, а другой — героем. Если же ни один из водителей не остановится (и “сыграет в курицу”), то происходит авария.
В игре “Цыпленок” равновесие Нэша реализуется в смешанных стратегиях, где каждый водитель имеет вероятность как остановиться, так и продолжить движение. Это равновесие возникает, потому что ни один из водителей не может улучшить свой результат, меняя свою стратегию, при условии, что другой водитель придерживается своей смешанной стратегии.
3. Поиск равновесия Нэша в чистой стратегии в конечных играх с одновременными ходами (плейлист 3 по теории игр)
Каково равновесие Нэша в конечно повторяющейся дилемме заключенного?
В конечно повторяющейся дилемме заключенного идеальное равновесие Нэша возникает, когда все игроки выбирают стратегию ALLD (всегда испорти). Это означает, что невыгодно для отдельного игрока отклоняться от этой стратегии, даже если они знают, что игра будет завершена через определенное количество раундов.
Где находится равновесие Нэша, если нет доминирующей стратегии?
Равновесие Нэша имеет место, когда игроки не меняют своих позиций, зная, что изменение позиций приведет к худшему результату. Доминирующая стратегия возникает, когда каждый игрок выбирает лучшую стратегию независимо от хода противника.
Всегда ли равновесие Нэша уникально в реальных задачах?
В реальных задачах равновесие Нэша зачастую не уникально.
Часто существует множество равновесий Нэша, каждое из которых является устойчивым и рациональным.
Что противоположно равновесию Нэша?
Равновесие Бержа было концептуализировано как полная противоположность равновесию Нэша. В то время как равновесие Нэша представляет собой эгоистичное поведение, равновесие Бержа моделирует альтруистическое поведение.
Основные отличия между равновесием Нэша и равновесием Бержа:
- Равновесие Нэша: агенты выбирают стратегии, которые максимизируют их собственную выгоду, даже если это наносит ущерб другим.
- Равновесие Бержа: агенты выбирают стратегии, которые максимизируют общее благосостояние, а не только их собственное.
Концепция равновесия Бержа возникла в рамках теории кооперативных игр, которая исследует ситуации, когда участники могут иметь общие цели и работать сообща для их достижения.
Равновесие Бержа особенно полезно для моделирования ситуаций, где:
- Участники имеют общие интересы.
- Некоторое сотрудничество может привести к выгодному для всех исходу.
- Эгоистичное поведение может привести к неэффективным результатам.
Возможно ли отсутствие чистой стратегии равновесия по Нэшу?
Отсутствие чистого равновесия Нэша означает, что ни одна стратегия не гарантирует максимальный выигрыш для игроков независимо от выбора оппонента.
- Смешанные стратегии: в некоторых играх, таких как “Камень-ножницы-бумага”, игроки используют смешанные стратегии, при которых они рандомизируют свои выборы.
- В случае с “Камень-ножницы-бумага” смешанная стратегия включает выбор каждого хода с одинаковой вероятностью, чтобы избежать эксплуатации со стороны оппонента.
Есть ли в игре «Крестики-нолики» равновесие Нэша?
В элегантной игре “Крестики-нолики” существует равновесие Нэша, известное как ничья.
- Каждый игрок обладает стратегией, которая препятствует победе противника.
- Оптимальным исходом является ничейный результат, поскольку ни один из игроков не может улучшить свое положение, изменив свою стратегию.
Всегда ли строго доминантная стратегия является равновесием Нэша?
Мы сразу видим, что концепция равновесия по Нэшу аналогична концепции повторяющегося доминирования, и фактически, по теореме, каждое равновесие в доминирующей стратегии также является равновесием по Нэшу.
Существует ли равновесие Нэша в дилемме заключенного?
Вероятный исход дилеммы заключенного состоит в том, что оба игрока откажутся (т. е. будут вести себя эгоистично), что приведет к неоптимальным результатам для обоих. Это также равновесие Нэша, теорема принятия решений в теории игр, которая утверждает, что игрок может достичь желаемого результата, не отклоняясь от своей первоначальной стратегии.
Каков пример равновесия Нэша в реальном мире?
В реальном мире равновесие Нэша можно наблюдать в повседневных стратегических взаимодействиях. Например, ситуация, с которой часто сталкиваются студенты Корнелльского университета:
- У двух друзей есть две стратегии: поздно лечь спать и учиться или лечь спать.
- В этой ситуации существует единственное равновесие Нэша из-за структуры выигрышей:
- Если оба друга ложатся спать допоздна, они оба получают среднюю оценку.
- Если один друг спит допоздна, а другой идет спать, тот, кто спит допоздна, получает высокую оценку, а другой – низкую.
- Если оба друга идут спать, они оба получают низкую оценку.
Это равновесие является стабильным, так как у ни одного из друзей нет стимула менять свою стратегию, учитывая выбор другого друга.
Важность равновесия Нэша:
- Оно позволяет предсказывать поведение игроков в стратегических взаимодействиях.
- Оно помогает понять 競争力 рынков, переговоров и других социальных процессов.
- Оно может быть использовано для разработки оптимальных стратегий для агентов в многопользовательских системах.
Сколько равновесий Нэша существует в дилемме заключенных?
Дилемма заключенных (ДиЗ) математически моделирует ситуацию, в которой два человека принимают решения, которые могут привести как к сотрудничеству, так и к конфликту.
В ДиЗ равновесие Нэша возникает, когда ни у одного из игроков нет стимула менять свою стратегию, учитывая стратегии других игроков.
В классической формулировке ДиЗ единственное равновесие Нэша возникает, когда оба игрока не сотрудничают. Хотя это равновесие не обязательно оптимально для игроков, оно стабильно в том смысле, что ни один игрок не улучшит свой результат, изменив свою стратегию.
Это равновесие является примером социальной дилеммы, в которой индивидуальная рациональность приводит к коллективно нежелательному результату.
Чтобы избежать этого неэффективного результата, ДиЗ использовался в качестве модели для исследования различных механизмов сотрудничества, таких как:
- Повторные игры: где игроки неоднократно сталкиваются с одной и той же дилеммой
- Игры с передачей сигналов: где игроки могут обмениваться информацией, чтобы координировать свои действия
- Игры с наказаниями: где игроки могут наказывать друг друга за некооперативное поведение
Изучая эти расширения ДиЗ, исследователи стремятся выявить условия, при которых сотрудничество может возникнуть и поддерживаться даже в ситуациях, когда индивидуальный интерес конфликтует с коллективным благом.
Может ли игра не иметь равновесия в смешанной стратегии?
Конечные игры обладают равновесием Нэша в смешанных стратегиях. Хотя во многих играх отсутствует равновесие Нэша в чистых стратегиях, для конечных игр справедливо следующее утверждение:
Каждая конечная игра имеет хотя бы одно равновесие Нэша в смешанной стратегии.
Смешанная стратегия представляет собой вероятностное распределение по набору чистых стратегий. Поведение игрока в смешанной стратегии делает его действия непредсказуемыми для оппонента, что усложняет эксплуатацию его стратегии.
Теорема об равновесии Нэша в смешанных стратегиях утверждает, что в каждой конечной игре каждый игрок обладает хотя бы одной смешанной стратегией, при которой ни один игрок не может улучшить свой результат, изменив свою стратегию при условии, что другие игроки не меняют свои стратегии.
- Теорема Минмакса обеспечивает математический метод для поиска равновесия Нэша в смешанных стратегиях.
- Теория эволюционных игр рассматривает равновесие Нэша как результат итеративного процесса принятия решений, основанного на наблюдаемом поведении других игроков.
Практическое применение равновесия Нэша в смешанных стратегиях включает:
- Понимание стратегического взаимодействия в экономических моделях, таких как аукционы и ценовая конкуренция.
- Анализ социальных сетей и распространения информации.
- Моделирование поведения в биологических системах, например, при взаимодействии хищник-жертва.
Есть ли в игре «Камень-ножницы-бумага» равновесие Нэша?
Равновесие Нэша в “Камень-ножницы-бумаге” отсутствует.
- Причина: Ни один вариант не является лучшим ответом на другой в любой ситуации.
Таким образом, нет чистой стратегии равновесия Нэша.
Всегда ли доминирующая стратегия является равновесием Нэша?
Доминирующими стратегическими равновесиями всегда являются равновесия Нэша. Равновесие доминирующей стратегии — это пара стратегий, от которой ни одна сторона не отойдет, независимо от того, что сделает другая сторона.
